Question

如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（，0），C（0，2）．
（1）抛物线y=-x²+bx+c经过点B、C，求该抛物线的解析式；
（2）将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；
（3）如图（2），将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜180°），将得到矩形OA′B′C′，设A′C′的中点为点E，连接CE，当θ=______°时，线段CE的长度最大，最大值为______．

Answer 1

解：（1）∵矩形OABC，A（2，0），C（0，2），∴B（2，2）．
∴抛物线的对称轴为x=．∴b=．
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+2．

（2）①当顶点A落在对称轴上时，设点A的对应点为点A′，连接OA′，
设对称轴x=与x轴交于点D，∴OD=．
∴OA′=OA=2．
在Rt△OA′D中，根据勾股定理A′D=3．
∴A′（，-3）．
②当顶点落C对称轴上时（如图），设点C的对应点为点C′，连接OC′，
在Rt△OC′D中，根据勾股定理C′D=1．
∴C′（，1）．
③当顶点落B对称轴上时，同理①可求出点B′的坐标是（，-3）；


（3）如右图，设AC、OB的交点为E；
在Rt△OAB中，OA=2，AB=2，∴∠BOA=30°，OE=AB=2；
在OE旋转过程中，可将点E的轨迹看作是以O为圆心，以OE为半径的圆（旋转角度：0°～180°）；
由图可看出，当点E运动到y轴负半轴上时（即点E′的位置），CE最长；
此时，旋转的角度：∠EOE′=∠BOA+90°=30°+90°=120°；
CE的最长值：CE′=OC+OE′=2+2=4；
故填：120°，4．
分析：（1）首先根据矩形的性质以及A、C点的坐标确定点B的坐标，再利用待定系数法确定该抛物线的解析式．
（2）设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，若矩形的顶点恰好落在抛物线对称轴上时，该顶点、O、D正好构成一个直角三角形，由勾股定理即可确定这个顶点的坐标．
（3）观察图示可知：当点E运动到y轴负半轴上时，CE最长，找出了这个关键位置，解答问题就简单多了．
点评：该题主要考查了函数解析式的确定、矩形的性质、图形的旋转以及勾股定理的应用等综合知识；题目的难度不大，需要注意数形结合思想的应用．