Question

7．已知：如图，在?ABCD中，AB=2AD，M为AB的中点，连接DM，MC．求证：DM⊥MC．

Answer 1

分析 由在?ABCD中，AB=2AD，M为AB的中点，易证得DM，CM分别平分∠ADC与∠BCD，即可求得∠CDM+∠DCM=90°，即可证得结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥CD，
∴∠CDM=∠AMD，∠DCM=∠BMC，
∵AB=2AD，M为AB的中点，
∴AD=AM=BM=BC，
∴∠ADM=∠AMD，∠BCM=∠BMC，
∴∠ADM=∠CDM=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠DCM=∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠DMC=90°，
即DM⊥MC．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质．注意证得DM，CM分别平分∠ADC与∠BCD是关键．