Question

6．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，l是过点C的任意一条直线，过A作AD⊥l于D，过B作BE⊥l于E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）如图②延长BE至F，连接CF，以CF为直角边作等腰Rt△FCG，∠FCG=90°，连接AG交l于H．求证：BF=2CH．
（3）在（2）的条件下，若AD=12，BF=15，BC=13，请直接写出点G到直线AC的距离．

Answer 1

分析 （1）如图①中，根据AAS即可证明；
（2）如图②中，作AM∥CG交EH于M，连接GM．首先证明△MAC≌△CBF，推出CM=BF，AM=CF=CG，由AM∥CG，推出四边形AMGC是平行四边形即可
（3）由△MAC≌△CBF，推出CM=BF=15，AC=BC=13，根据S_{四边形AMCG}=2•S_△AMC=AC•h（h是点G到AC的距离），求出h即可；

解答 （1）证明：如图①中，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．

（2）如图②中，作AM∥CG交EH于M，连接GM．


∵∠MAC+∠ACG=180°，∠ACG+∠BCF=180°，
∴∠MAC=∠BCF，
∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACM=∠CBF，
在△ACM和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠BCF}\\{AC=BC}\\{∠ACM=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△CBF，
∴CM=BF，AM=CF=CG，∵AM∥CG，
∴四边形AMGC是平行四边形，
∴MH=HC，
∴BF=CM=2CH．

（3）∵△MAC≌△CBF，
∴CM=BF=15，
∵AC=BC=13，
∴S_{四边形AMCG}=2•S_△AMC=AC•h（h是点G到AC的距离），
∴2×$\frac{1}{2}$×15×12=13h，
∴h=$\frac{180}{13}$

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．