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(2011•兰州一模)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过两点C(-2,5)与D(2,-3),且与x轴相交于A、B两点,其顶点为M.
(1)求点M的坐标;
(2)求△ABM的面积;
(3)在二次函数图象上是否存在点P,使S△PAB=
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S△MAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变.得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y=x+m(m<1)与此图象有两个公共点时,m的取值范围是什么?
分析:(1)利用待定系数法将点C、点D的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式,再化为顶点式就可以求出其顶点坐标M.
(2)当y=0时,求出抛物线与x轴的交点坐标就可以求出AB的值,△ABM的高就是M的纵坐标的高的绝对值.利用三角形的面积公式就可以求出其面积.
(3)设出点P的坐标为(a,b),根据条件S△PAB=
5
4
S△MAB建立等量关系就可以求出P点的坐标.
(4)当直线y=x+m(m<1)经过点A(-1,0)时,可以求出m的值,当直线y=x+m(m<1)经过点B(3,0)时可以求出m的值,再 根据图象就可以求出m的取值范围.
解答:解:(1)∵点C(-2,5)与D(2,-3)在二次函数y=x2+bx+c的图象上,
5=4-2b+c
-3=4+2b+c
,解得:
b=-2
c=-3

抛物线的解析式为:y=x2-2x-3,
∴y=(x-1)2-4
M(1,-4)

(2)当y=0时,则x2-2x-3=0,
∴x1=3,x2=-1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴S△ABM=
4×4
2
=8.

(3)设点P的坐标为(a,a2-2a-3),当点P在x轴的上方时,
∴4(a2-2a-3)×
1
2
=
5
4
×8
,解得:
a1=4,a2=-2,
∴P(4,5)或(-2,5),
当点P在x轴的下方时的点不存在.
∴P(4,5)或(-2,5).

(4)如图,当直线y=x+m(m<1)经过点A(-1,0)时
∴0=-1+m,
∴m=1,
当直线y=x+m(m<1)经过点B(3,0)时,
∴0=3+m,
∴m=-3
∵m<1,由图象得:
-3<m<1.
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了利用待定系数法求函数的解析式,抛物线顶点坐标的求法,三角形面积公式的运用,抛物线与直线的交点情况的关系.
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(2)填空:
①当S1=S2时,x=
1或3
1或3

②当S1>S2时,x的取值范围是
1<x<3
1<x<3

③当S1<S2时的取值范围是
0<x<1或3<x<4
0<x<1或3<x<4

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