Question

设an=500+n2，n为给定的自然数．对于任意非负整数n，记f（n）为a_n，a_n+1的最大公约数．试求f（n）的所有可能值．

Answer 1

考点：约数与倍数

专题：

分析：根据a_n+1-a_n=n²+2n+1+500-（500+n²）=2n+1，得出a_n=500+n²=500+

[af(n)-1]2

4

=

a2[f(n)]2-2af(n)+2001

4

，进而得出f（n）的最大值，即可得出f（n）的所有可能值．

解答：解：a_n+1=500+（n+1）²=n²+2n+1+500，a_n=500+n²，
当a_n，a_n+1有最大公约数f（n）=（a_n，a_n+1），显然，f（n）也是a_n+1-a_n的约数．
a_n+1-a_n=n²+2n+1+500-（500+n²）=2n+1，必是个奇数；
令2n+1=af（n），（a、f（n）是奇数），
则n=

af(n)-1

2

，
 a_n=500+n²=500+

[af(n)-1]2

4

=

a2[f(n)]2-2af(n)+2001

4

，
显然a²[f（n）]²、2af（n）、2001这三项都必须能提出公因数f（n），显然f（n）最大就是2001．
∵2001=3×667=1×2001，
∴f（n）的所有可能值为1，3，667，2001．

点评：此题主要考查了约数与倍数，得出a²[f（n）]²、2af（n）、2001这三项都必须能提出公因数f（n），f（n）最大就是2001是解题关键．