Question

2．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，CM=4．在射线CF上取一点A，连接AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．
（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；
（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于∠MCA=∠BDO=Rt∠，所以△AMC和△BOD相似时分两种情况：①△AMC∽△BOD；②△AMC∽△OBD．则两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等及tan∠EOF=2列出关于AC的方程，解方程即可求出AC的长度；
（2）先由MC∥BD，得出△AMC∽△ABD，根据相似三角形对应边的比相等及三角形中位线的性质求出BD=2MC=8，OD=4，CD=8，AC=CD=8，再利用SAS证明△AMC≌△BOD，得到∠CAM=∠DBO，根据平行线的性质及三角形内角和定理求出∠ABO=90°，进而得出△ABO为直角三角形．

解答 解：（1）∵∠MCA=∠BDO=90°，
∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，
∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：
①当△AMC∽△BOD时，$\frac{AC}{MC}$=$\frac{BD}{DO}$=tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴$\frac{AC}{4}$=2，即AC=8，
②当△AMC∽△OBD时，$\frac{MC}{AC}$=$\frac{BD}{DO}$=tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴$\frac{4}{AC}$=2，即AC=2，
∴当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似；

（2）△AOB为直角三角形．
证明：∵MC∥BD，
∴△AMC∽△ABD．
∴$\frac{MC}{BD}$=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AC}{AD}$，
∠AMC=∠ABD．
∵M为AB中点，
∴C为AD中点，BD=2MC=8．
∵tan∠EOF=2，
∴OD=4，
∴CD=OC-OD=8，
∴AC=CD=8，
在△AMC与△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD=8}\\{∠ACM=∠BDO=90°}\\{CM=DO=4}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△BOD（SAS），
∴∠CAM=∠DBO，∠NAC=∠O，
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，AB=BO，
∴△AOB为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形中位线定理，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论是解决第一问的关键．