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【题目】如图,已知AB⊙O的直径,点CD⊙O上,点E⊙O外,∠EAC=∠D=60°.

1)求∠ABC的度数;

2)求证:AE⊙O的切线;

3)当BC=4时,求劣弧AC的长.

【答案】1∠ABC=60°

2)证明见解析;

3π.

【解析】试题分析:(1∠ABC∠D都是弧AC所对的圆周角,可得∠ABC=∠D=60°

AB是直径,可得∠ACB=90°,从而可得∠BAC=30°,由∠EAC=60°,可得∠EABC=90°,即AE是切线;

连接BC,由已知条件可知△BOC是等边三角形,从而可得弧AC所对圆心角的度数,利用弧长公式即可得劣弧AC的长.

试题解析:(1∵∠ABC∠D都是弧AC所对的圆周角,∴∠ABC=∠D=60°

2∵AB⊙O的直径,∴∠ACB=90°∴∠BAC=30°

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,即BA⊥AE

∴AE⊙O的切线;

3)如图,连接OC

∴OB=OC∠ABC=60°

∴△OBC是等边三角形,∵OB=BC=4∠BOC=60°

∴∠AOC=120°

劣弧AC的长为=π

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