Question

6．如图，⊙O的直径AB=2，点D在AB的延长线上，DC与⊙O相切于点C，连接AC．若∠A=30°，则CD长为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先连接BC，OC，由于AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性质可求∠D，再由切线的性质可得∠BCD=∠A=30°，∠OCD=90°，易得OD，由勾股定理可得CD．

解答 解：如右图所示，连接BC，OC，
∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠CBA=90°-30°=60°，
∵DC是切线，
∴∠BCD=∠A=30°，∠OCD=90°，
∴∠D=∠CBA-∠BCD=60°-30°=30°，
∵AB=2，
∴OC=1，
∴OD=2，
∴CD=$\sqrt{{OD}^{2}{-OC}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故选D．

点评 本题考查了直径所对的圆周角等于90°、切线的性质、弦切角定理、三角形外角性质，解题的关键是连接BC，OC，构造直角三角形ABC，利用勾股定理是解答此题的关键．