Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，，CA＝CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E与点A、D不重合)，且∠FEC＝∠ACB，设DE＝x，CF＝y．

(1)求AC和AD的长；

(2)求y与x的函数关系式；

(3)当△EFC为等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AD∥BC，∠B＝90°， 　　∴∠ACB＝∠CAD． 　　∴tan∠ACB＝tan∠CAD＝．∴． 　　∵AB＝8，∴BC＝6． 　　则AC＝10．　1分 　　过点C作CH⊥AD于点H， 　　∴CH＝AB＝8，则AH＝6． 　　∵CA＝CD， 　　∴AD＝2AH＝12．　2分 　　(2)∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D． 　　∵∠FEC＝∠ACB，∠ACB＝∠CAD， 　　∴∠FEC＝∠D． 　　∵∠AEC＝∠1＋∠FEC＝∠2＋∠D， 　　∴∠1＝∠2． 　　∴△AEF∽△DCE．　3分 　　∴，即． 　　∴．　4分 　　(3)若△EFC为等腰三角形． 　　①当EC＝EF时，此时△AEF≌△DCE，∴AE＝CD． 　　由12－x＝10，得x＝2．　5分 　　②当FC＝FE时，有∠FCE＝∠FEC＝∠CAE， 　　∴CE＝AE＝12－x． 　　在Rt△CHE中，由，解得．　6分 　　③当CE＝CF时，有∠CFE＝∠CEF＝∠CAE， 　　此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去．　7分 　　综上，当△EFC为等腰三角形时，x＝2或．