Question

求自然数n，使S_n=9+17+25+…+（8n+1）=4n²+5n为完全平方数．

Answer 1

分析：先将4n²+5n写成n²（4+

5

n

）的形式，根据完全平方式的特点，可知（4+

5

n

）必定也是完全平方数，先求出n的取值范围，从而确定自然数n的值．

解答：解：4n²+5n=n²（4+

5

n

）=p²．
若为完全平方数，则（4+

5

n

）必定也是完全平方数，
因为n是自然数，所以此时n若大于5，则不能使原式为整数，也谈不上完全平方数，
所以0＜n≤5 很容易看出n只能等于1才能使之成为完全平方数，
∴n=1时，使S_n=9+17+25+…+（8n+1）=4n²+5n为完全平方数．

点评：本题考查完全平方数的知识，难度较大，关键是将4n²+5n表示为n²（4+

5

n

）的形式，注意此题的解题思想．