Question

6．先阅读，后解答：
（1）由根式的性质计算下列式子得：
①$\sqrt{{3}^{2}}$=3，②$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$，③$\sqrt{（-\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，④$\sqrt{（-5）^{2}}$=5，⑤$\sqrt{0}$=0．
由上述计算，请写出$\sqrt{{a}^{2}}$的结果（a为任意实数）．
（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：
①$\sqrt{（3.14-π）^{2}}$=π-3.14；
②化简：$\sqrt{{x}^{2}-4x+4}$（x＜2）=2-x．
（3）应用：
若$\sqrt{（x-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-8）^{2}}$=3，则x的取值范围是5≤x≤8．

Answer 1

分析 （1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果；
（2）①当a=3，14-π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数-a，即得π-3.14；
②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；
（3）根据（1）式得：$\sqrt{（x-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-8）^{2}}$=|x-5|+|x-8|，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值．

解答 解：（1）$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|=$\left\{\begin{array}{l}{a（a＞0）}\\{0（a=0）}\\{-a（a＜0）}\end{array}\right.$；
（2）①$\sqrt{（3.14-π）^{2}}$=|3.14-π|=π-3.14，
②$\sqrt{{x}^{2}-4x+4}$（x＜2），
=$\sqrt{（x-2）^{2}}$，
=|x-2|，
∵x＜2，
∴x-2＜0，
∴$\sqrt{{x}^{2}-4x+4}$=2-x；
故答案为：①π-3.14，②2-x；
（3）∵$\sqrt{（x-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-8）^{2}}$=|x-5|+|x-8|，
①当x＜5时，x-5＜0，x-8＜0，
所以原式=5-x+8-x=13-2x．
②当5≤x≤8时，x-5≥0，x-8≤0．
所以原式=x-5+8-x=3，
③当x＞8时，x-5＞0，x-8＞0，
所以原式=x-5+x-8=2x-13．
∵$\sqrt{（x-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-8）^{2}}$=3，
所以x的取值范围是5≤x≤8，
故答案为：5≤x≤8．

点评 本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（$\sqrt{a}$）²=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|=$\left\{\begin{array}{l}{a（a＞0）}\\{0（a=0）}\\{-a（a＜0）}\end{array}\right.$；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．