Question

如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；
（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M₁（1，1）；作点M₁关于x轴的对称点M₂，则M₂（1，-1）；连接PM₂，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM₂最小．

解答：解：（1）∵对称轴为直线x=2，
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）²+k．
将A（-1，0），C（0，5）代入得：

9a+k=0 4a+k=5

，解得

a=-1 k=9

，
∴y=-（x-2）²+9=-x²+4x+5．

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．
设P（x，-x²+4x+5），
如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=-x²+4x+5，
∴MN=ON-OM=-x²+4x+4．

S_{四边形MEFP}=S_梯形OFPN-S_△PMN-S_△OME
=

1

2

（PN+OF）•ON-

1

2

PN•MN-

1

2

OM•OE
=

1

2

（x+2）（-x²+4x+5）-

1

2

x•（-x²+4x+4）-

1

2

×1×1
=-x²+

9

2

x+

9

2

=-（x-

9

4

）²+

153

16

∴当x=

9

4

时，四边形MEFP的面积有最大值为

153

16

，
把x=

9

4

时，y=-（

9

4

-2）²+9=

143

16

．
此时点P坐标为（

9

4

，

143

16

）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为3．
令y=-x²+4x+5=3，解得x=2±

6

．
∵点P在第一象限，∴P（2+

6

，3）．
四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．
如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M₁（1，1）；
作点M₁关于x轴的对称点M₂，则M₂（1，-1）；
连接PM₂，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM₂最小．

设直线PM₂的解析式为y=mx+n，将P（2+

6

，3），M₂（1，-1）代入得：

(2+ 6 )m+n=3 m+n=-1

，解得：m=

4 6 -4

5

，n=-

4 6 +1

5

，
∴y=

4 6 -4

5

x-

4 6 +1

5

．
当y=0时，解得x=

6 +5

4

．∴F（

6 +5

4

，0）．
∵a+1=

6 +5

4

，∴a=

6 +1

4

．
∴a=

6 +1

4

时，四边形PMEF周长最小．

点评：本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称-最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．