如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长.那么称这个三角形为“中线三角形 (1)如图1.已知AB.作一个“中线三角形 ABC.使AB边上的中线长OC=AB(2)如图2.在Rt△ABC中.∠C=90°.△ABC是“中线三角形 .且AC边上的中线BD=AC.求$\frac{BC}{AC}$的值(3)如图3.已知正方形ABCD的边长为6.点P.Q同时从点A出发.以相同的速� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“中线三角形”

（1）如图1，已知AB，作一个“中线三角形”ABC，使AB边上的中线长OC=AB
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC是“中线三角形”，且AC边上的中线BD=AC，求$\frac{BC}{AC}$的值
（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为6，点P、Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿折线AB-BC和AD-CDC向终点C运动，当△APQ是“中线三角形”时，求△APQ的面积．

分析（1）作AB的中点O，再通过同圆的半径相等，取OC=AB，则△ABC就是所求作的中线三角形；
（2）如图2，作辅助线，构建等边三角形，证明△CDE是等边三角形，得∠DCE=∠DEC=60°，所以∠ECB=30°设EF=x，分别表示BC=2$\sqrt{3}$x，AC=2DC=2CE=4x，代入求比值即可；
（3）①如图3，当△APQ为中线三角形，此时PQ=AE，因为点P、Q同时从点A出发，且以相同的速度运动，所以AB+BP=AD+DQ，则BP=DQ，根据等式的性质和正方形的边长相等得：PC=CQ，再证明△ABP≌△ADQ，得AP=AQ，由等腰三角形三线合一的性质得：AE⊥PQ，∠PAE=∠QAE，并证明AE与AC共线，
设CE=x，表示PQ=AE=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，代入面积公式求三角形的面积即可．
②如图4，当AP=EQ时，作辅助线，设AG=x，则AP=AQ=4x，先表示AP与高QG的长，利用面积公式可计算结果．

解答解：（1）作法：①作AB的中垂线，交AB于O，
②以O为圆心，以AB为半径画圆，在圆上任意取一点C，
③连接AC、BC，
则△ABC就是所求作的中线三角形；
（2）如图2，取BD的中点E，连接CE，过E作EF⊥BC于F，
∵∠C=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD=BE，
∵D是AC的中点，E是BD的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴CD=DE=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=∠DEC=60°，
∴∠ECB=90°-60°=30°，
设EF=x，则EC=BE=2x，CF=$\sqrt{3}$x，
同理BF=$\sqrt{3}$x，
∴BC=2$\sqrt{3}$x，AC=2DC=2CE=4x，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{3}x}{4x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）有两种情况：
①如图3，当△APQ为中线三角形，此时PQ=AE，
由题意得：AB+BP=AD+DQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴BP=DQ，
∴BC-BP=CD-DQ，
∴PC=CQ，
∵∠B=∠D=90°，
∴△ABP≌△ADQ，
∴AP=AQ，
∵AE为中线，
∴AE⊥PQ，∠PAE=∠QAE，
连接AC，
∵AP=AQ，PC=CQ，
∴AC为PQ的中垂线，
∴AE与AC共线，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∵E是PQ的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$PQ=PE=EQ，
设CE=x，则PE=EQ=x，PQ=AE=2x，
Rt△ABC中，AB=6，
∴6²+6²=AC²=（AE+CE）²，
72=（2x+x）²，
x=$±2\sqrt{2}$，
∵x＞0，
∴PQ=AE=2x=4$\sqrt{2}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$PQ•AE=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=16．
②如图4，当△APQ为中线三角形，此时AP=EQ，
过E作QG⊥AP于G，
∵AP=AQ=EQ，
∴AG=EG，
∵AE=EP，
设AG=x，则AP=AQ=4x，
∴QG=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{（4x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{15}$x，
连接AC交PQ于H，则AC⊥PQ，
设CH=a，则QH=a，AH=6$\sqrt{2}$-a，
Rt△AHQ中，AQ²=AH²+HQ²，
∴$（4x）^{2}=（6\sqrt{2}-a）^{2}+{a}^{2}$，
16x²=72-12$\sqrt{2}$a+2a² ①，
S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QG=$\frac{1}{2}$PQ•AH，
4x$•\sqrt{15}$x=2a（6$\sqrt{2}$-a），
$4\sqrt{15}{x}^{2}$=12$\sqrt{2}$a-2a² ②，
由①和②得：16x²=72-4$\sqrt{15}$x²，
（16+4$\sqrt{15}$）x²=72，
x²=18（4-$\sqrt{15}$），
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QG=$\frac{1}{2}$•4x$•\sqrt{15}$x=2$\sqrt{15}$×18（4-$\sqrt{15}$）=144$\sqrt{15}$-540；
综上所述，当△APQ是“中线三角形”时，△APQ的面积是16或144$\sqrt{15}$-540．

点评本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质以及三角形全等的性质和判定，又是一道新定义的阅读理解问题及尺规作图题，综合性较强；熟练掌握性质和定理是关键，并注意理解和运用已知的“中线长恰好等于这边的长”这一条件．

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