Question

【题目】在平面直角坐标系中 xOy 中，对于⊙C及⊙C内一点 P，给出如下定义：若存在过点 P 的直线 l，使得它与⊙C 相交所截得的弦长为，则称点 P 为⊙C的“k-近内点”．

（1）已知⊙O的半径为 4，

①在点中，⊙O的“4-近内点”是______________；

②点 P 在直线y=x上，若点 P 为⊙O的“4-近内点”，则点 P 的纵坐标y的取值范围是____________；

（2）⊙C的圆心为（-1，0），半径为 3，直线x 轴，y 轴分别交于 M，N，若线段 MN 上存在⊙C的 “2 -近内点”，则 b 的取值范围是____________．

Answer 1

【答案】（1）①P2，P3.； ②或；（2）或

【解析】

通过读题，理解本题的实质强调两点：

（1）确定点P在圆内，即点心距小于半径.

（2）过点P的直线截圆所得的弦长可以取到k.即过圆内一点的直线截圆所得的弦的最小值应小于或等于k，数形结合，由弦长公式及其相关不等式结合来计算求解即可.

解：由于经过圆内一点的直线被圆所截的弦的长度的最大值为直径，最小值是当直线垂直于经过该点的直径时弦长最短.只有当最短的弦长不大于k值时，弦长才可能取到k.

（1）①OP1=2，r=4，由弦长公式得 最短弦长为,不满足， OP2=，r=4，由弦长公式得最短弦长为,满足，OP3=，r=4，由弦长公式得最短弦长，

满足，所以⊙O的“4-近内点”是P2，P3.

②依题意：设P点的坐标为,则OP2=，半径r=4, 由弦长公式得最短弦长且OP2 =< r2=16, 即

解得：或

∵

∴或，

（2）

如图所示，直线MN，过圆心C作CD⊥MN，若此时弦PS=2,∴PD=，

连接PG，则PG=3，由勾股定理得GD=2，

又∵为等腰直角三角形

∴GM=2,

∴OM=ON=2+1，

由（1）可知当直线MN向上平移到RT位置恰好与圆C相切时，GT=3,

∴OT=OR=3+1，

∴

由对称性可知

综上，b的取值范围为或