Question

将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N点，
（1）如果把图A中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图B，求证：△CMF≌△CMN：
（2）将△CED绕点C旋转：
①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；
②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C）时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

（1）∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
∴CF=CN，∠ACF=∠BCN，
∵∠DCE=45°，
∴∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠ACM+∠ACF=45°，
即∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，

CF=CN ∠MCF=∠MCN CM=CM

，
∴△CMF≌△CMN（SAS）；

（2）①∵△CMF≌△CMN，
∴FM=MN，
又∵∠CAF=∠B=45°，
∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AM²+AF²=FM²，
∴AM²+BN²=MN²；

②如图，把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
则AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，
∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-（45°-∠BCN）-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，

CF=CN ∠MCF=∠MCN CM=CM

，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴FM=MN，
∵∠ABC=45°，
∴∠CAF=∠CBN=135°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°，
∴AM²+AF²=FM²，
∴AM²+BN²=MN²．