Question

已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB•AD．
求证：（1）△ABC∽△CAD；
（2）△BCD是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由公共角∠CAD=∠BAC，以及AC=BC，AC²=AB•AD变形得比例，可证△ABC∽△CAD；
（2）由AC=BC，得∠B=∠A=36°，由（1）的结论得∠ACD=∠A=36°，再利用外角的性质，内角和定理分别求∠CDB，∠DCB即可．

解答：证明：（1）在△ABC和△CAD中，
∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∵AC²=AB•AD，∴

AC

AD

=

AB

AC

=

AB

BC

，
∴△ABC∽△CAD；

（2）在△ABC与△CAD中，∵AC=BC，∴∠A=∠B=36°，
∵△ABC∽△CAD，∴∠ACD=∠A=36°，
∴∠CDB=72°，∠DCB=180°-36°-72°=72°，
∴△BDC是等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．关键是由已知条件推出线段的相等关系，证明三角形相似．