Question

如图，在Rt△POQ中，OP=OQ=5，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．
（1）求证：MA=MB；
（2）探究：在旋转三角尺的过程中，四边形AOBM的面积是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出四边形AOBM的面积．

Answer 1

分析：（1）过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME=MF，再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）利用四边形AOBM的面积为：S_△POQ-S_△MPA-S_△MQB进而得出即可．

解答：（1）证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，
∵∠O=90°，
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=

1

2

OQ=2，MF=

1

2

OP=2，
∴ME=MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，

∠AME=∠BMF ME=MF ∠AEM=∠BFM

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；

（2）解：四边形AOBM的面积不发生变化；
理由：由（1）得出：AE=FB，OF=FQ=OE，
∴BQ=FQ-BF=EO-AE=AO，
∴PA+BQ=PO=5，
∵四边形AOBM的面积为：S_△POQ-S_△MPA-S_△MQB=

1

2

×PO×QO-

1

2

（PA+BQ）×ME=

1

2

×5×5-

1

2

×5×

5

2

=

25

4

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角的性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，作出辅助线，把动点问题转化为固定的图形，构造出全等三角形是解题的关键．