Question

17．在△ABC中，BC=BA，D是△ABC外一点，且∠BCD=∠BAD=60°，求证：BC=CD+DA．

Answer 1

分析 题目含有60°的特殊角，考虑运用余弦定理

解答 证明：在△BDC中，BD²=BC²+DC²-2BD•DC•cos∠BCD，
∵∠BCD=60°，
∴cos∠BCD=cos60°=$\frac{1}{2}$，即BD²=BC²+DC²-BC•DC，
在△BDA中，BD²=BA²+DA²-2BA•DA•cos∠BAD，
∵∠BAD=60°，
∴cos∠BAD=cos60°=$\frac{1}{2}$，即BD²=BA²+DA²-BA•DA，
∴BA²+DA²-BA•DA=BC²+DC²-BC•DC，
∵BC=AB，
∴DC²-BC•DC=DA²-BC•DA，即DC²-DA²=BC•DC-BC•DA，
∴（DC+DA）（DC-DA）=BC（DC-DA），
∴BC=DC+DA．

点评 本题考查了余弦定理及因式分解．熟记余弦定理是关键．