Question

【题目】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．

（1）求证：AP＝BQ；

（2）当PQ⊥BQ时，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）﹣

【解析】

（1）欲证明PA＝BQ，只要证明△ACP≌△BCQ即可；

（2）如图2中，作CH⊥PQ于H．首先证明A、P、Q共线，利用勾股定理求出AH，PH即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°，

∴∠ACP＝∠BCQ，

∴△ACP≌△BCQ，

∴PA＝BQ．

（2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H．

∵PQ⊥BQ，

∴∠PQB＝90°，

∵∠CQP＝∠CPQ＝45°，

∴∠CQB＝135°，

∵△ACP≌△CBQ，

∴∠APC＝∠CQB＝135°，

∴∠APC+∠CPQ＝180°，

∴A、P、Q共线，

∵PC＝2，

∴CH＝PH＝，

在Rt△ACH中，AH＝＝＝，

∴PA＝AH﹣PH＝﹣．