Question

20．已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO+∠EPO=∠α，当tanα=2时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（2，0）两点代入抛物线y=ax²+x+c（a≠0）求出a，c的值，再求出其顶点坐标即可；
（2）作EN∥BC，交y轴于N，过C作CM⊥EN于M，令x=0求出y的值，故可得出∠OCB=45°．根据EN∥BC可知∠CNM=∠OCB=45°．由CM⊥EN于M得出∠CNM=∠CMN=45°．MN=CM=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，CN=1．故可得出直线NE的解析式，进而可得出E点坐标；
（3）过E作EF⊥AB于F，根据E（1，2）可知tan∠EOF=2，再由tan∠α=2得出∠EOF=∠α，利用等量代换得出∠EPO=∠AEO，故可得出△AEP∽△AOE，根据勾股定理得出AE的长，根据AP=8，OP=7可知P（7，0），由对称性可得P'的坐标，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a-1+c=0}\\{4a+2+c=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ c=2\end{array}\right.$．
∴抛物线为y=-x²+x+2①，
∴顶点D（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）；

（2）如图1，作EN∥BC，交y轴于N，过C作CM⊥EN于M，
∵令x=0，得y=2，
∴OC=OB=2．
∴∠OCB=45°．
∵EN∥BC，
∴∠CNM=∠OCB=45°．
∵CM⊥EN于M，
∴∠CNM=∠CMN=45°．
∴MN=CM=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴CN=1．
∴直线NE的解析式为：y=-x+3②，
把②代入①，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}}\right.$．
∴E（1，2）．

（3）如图2，过E作EF⊥AB于F，
∵E（1，2），
∴tan∠EOF=2，
又∵tan∠α=2，
∴∠EOF=∠α，
∵∠EOF=∠EAO+∠AEO=∠α，
∠EAO+∠EPO=∠α，
∴∠EPO=∠AEO，
∵∠EAO=∠PAE，
∴△AEP∽△AOE，
∴$\frac{AP}{AE}=\frac{AE}{AO}$，
∵AE=$\sqrt{{2^2}+{2^2}}$=$2\sqrt{2}$，AO=1，
∴AP=8，
∴OP=7，
∴P（7，0），
由对称性可得，P'（-5，0），
∴P（7，0）或（-5，0）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、锐角三角函数的定义及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，难度较大．