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    17．将-张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上-点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD，则得下列结论：
    ①△ADF是等边三角形；
    ②tan∠EBF=2-$\sqrt{3}$；
    ③S△ADF=$\frac{1}{3}$S正方形ABCD；
    ④BF2=DF•EF．
    其中正确的是（　　）
    A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

    分析 由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；
    设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，由等边三角形的性质得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=$\sqrt{3}$AM=2$\sqrt{3}$a，得出FN=MN-FM=（4-2$\sqrt{3}$）a，由三角函数的定义即可得出②正确；
    求出△ADF的面积=$\frac{1}{2}$AD•FM=4$\sqrt{3}$a2，正方形ABCD的面积=16a2，得出③错误；
    求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．

    解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
    由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，
    ∴FD=FA，
    ∴AD=FD=FA，
    即△ADF是等边三角形，①正确；
    设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，
    ∵△ADF是等边三角形，
    ∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=$\sqrt{3}$AM=2$\sqrt{3}$a，
    ∴FN=MN-FM=（4-2$\sqrt{3}$）a，
    ∴tan∠EBF=$\frac{FN}{BN}$=$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$=2-$\sqrt{3}$，②正确；
    ∵△ADF的面积=$\frac{1}{2}$AD•FM=$\frac{1}{2}$×4a×2$\sqrt{3}$a=4$\sqrt{3}$a2，正方形ABCD的面积=（4a）2=16a2，
    ∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{16}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，③错误；
    ∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，
    ∴∠AFB=∠ABF=75°，
    ∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，
    ∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF，
    ∴△BEF∽△DBF，
    ∴$\frac{BF}{DF}=\frac{EF}{BF}$，
    ∴BF2=DF•EF，④正确；
    故选：B．

    点评 本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．

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