如图1.AB是⊙O的直径.AC是弦.直线CD切⊙O于点C.AD⊥CD.垂足为D．(1)求证:AC2=AB•AD,(2)若将直线CD向上平移.交⊙O于C1.C2两点.其它条件不变.可得到图2所示的图形.试探索AC1.AC2.AB.AD之间的关系.并说明理由,(3)把直线C1D继续向上平移.使弦C1C2与直径AB相交.其它条件不变.请你在图3中画出变化后的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2003•烟台）如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：AC²=AB•AD；
（2）若将直线CD向上平移，交⊙O于C₁、C₂两点，其它条件不变，可得到图2所示的图形，试探索AC₁、AC₂、AB、AD之间的关系，并说明理由；
（3）把直线C₁D继续向上平移，使弦C₁C₂与直径AB相交（交点不与A、B重合），其它条件不变，请你在图3中画出变化后的图形，标好相应字母，并试着写出与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．

【答案】分析：（1）连接BC，根据两个角对应相等证明△ACD∽△ABC即可；
（2）根据（1）的思路，只需把四条线段放到两个三角形△ADC₂和△AC₁B中，证明两个三角形相似，即可得到线段之间的关系；
（3）画出正确图形后，同样把线段放到两个三角形中，通过证明三角形相似得到结论．
解答：

（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°（1分）
∵AD⊥CD
∴∠ADC=90°
∴∠ACB=∠ADC（2分）
又∵CD切⊙O于C
∴∠ACD=∠B
∴△ACD∽△ABC（3分）
∴

∴AC²=AB•AD；（4分）

（2）解：关系：AC₁•AC₂=AB•AD．（5分）

理由是：连接BC₁，
∵四边形ABC₁C₂是圆内接四边形
∴∠AC₂D=∠B（6分）
同（1）有∠ADC₂=∠AC₁B
∴△ADC₂∽△AC₁B（7分）
∴

∴AC₁•AC₂=AB•AD；（8分）

（3）解：如右图，（9分）

结论是：AC₁•AC₂=AB•AD，
证明：连接BC₁，
同（1）有∠ADC₂=∠AC₁B
又∵∠C₂=∠B（10分）
∴△ADC₂∽△AC₁B（11分）
∴

∴AC₁•AC₂=AB•AD．（12分）
点评：综合运用了圆周角定理及其推论和弦切角定理，掌握相似三角形的判定和性质．注意解决一题多变的方法，思路一般大体相同．

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