Question

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=x毫米．
（1）求证：y=120-

3

2

x；
（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于t的一元二次方程t²-10pt+200q=0的两个根，而p、q的值又恰好分别是a，10，12，13，b这5个数据的众数与平均数，试求a与b的值．

Answer 1

分析：（1）易证△APN∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解；
（2）矩形PQMN的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解；
（3）把（2）中求得的长于宽的数值，代入t²-10pt+200q=0即可求得p，q的数值，根据众数与中位数的定义即可求得a与b的值．

解答：（1）证明：根据已知条件易知：PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x，（1分）
∴△APN∽△ABC．（2分）
从而有

PN

BC

=

AE

AD

（3分）
即

y

120

=

80-x

80

∴y=120-

3

2

x（4分）

（2）解：设矩形PQMN的面积为S，则S=xy（5分）
即S=x（120-

3

2

x）（6分）
当x=-

120

2×(- 3 2 )

=40时，S有最大值为2400 （7分）
此时y=

2400

40

=60
∴x=40mm，y=60mm时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400平方毫米．（8分）

（3）解：由根与系数的关系，得

40+60=10p 40×60=200q

解得p=10，q=12（9分）
∵a为10，12，13，b的众数为10，
∴有a=10或b=10．（10分）
当a=10时，有

10+10+12+13+b

5

=12，
解得b=15
当b=10时，a=15．（11分）
（注：只答a=10，b=15不扣分）

点评：本题主要运用了相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法，以及众数，中位数的定义．