Question

13．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点．通过分析发现$∠BOC={90°}+\frac{1}{2}∠A$．理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴$∠1=\frac{1}{2}∠ABC，∠2=\frac{1}{2}∠ACB$．
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴$∠1+∠2=\frac{1}{2}（{180°}-∠A）={90°}-\frac{1}{2}∠A$，
∴$∠BOC={180°}-（∠1+∠2）={180°}-（{90°}-\frac{1}{2}∠A）={90°}+\frac{1}{2}∠A$．
（1）探究2：如图2，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A （直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）（直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；
（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；
（3）同（1）的求解思路．

解答 解：（1）探究2结论：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：如图，

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A，
即∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
故答案为：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（3）∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠D），
在△BOC中，∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）．
故答案为：∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）．

点评 本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．