Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点A时停止，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）D、F两点间的距离等于______；
（2）以点D为圆心，DC长为半径作圆交DE于M，能否在弧CM上找一点N，使直线QN切⊙D于N，且四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；
（3）作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G，当t为何值时，点P恰好落在射线QK上；
（4）连接PG，当PG∥AB时，直接写出t的值．

Answer 1

解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，∴DF=AB=25

（2）能．
如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，
∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=．

（3）①当点P在EF上（2≤t≤5）时，
如图2，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得．
∴t=4；
②当点P在FC上（5≤t≤7）时，
如图3，已知QB=4t，从而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7；

（4）如图4，t=1；如图5，t=7．
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：
当0＜t≤2时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，
如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；
当5≤t≤7时，点P，G均在FC上，也不存在，
PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，
如图5，当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）．
分析：（1）由中位线定理即可求出DF的长；
（2）连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；
（3）①当点P在EF上（2≤t≤5时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；
②当点P在FC上（5≤t≤7）时，PB+PF=BF就可以得到；
（4）当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键．