我们知道.矩形是特殊的平行四边形.所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质,同样.黄金矩形是特殊的矩形.因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．已知平行四边形ABCD.∠A=60°.AB=2a.AD=a．(1)把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明,要求:用直线段分割.分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．分割图形分割或图形说明示� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•佛山）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．
已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．
（1）把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明（见题答卡表格里的示例）；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．

分割图形	分割或图形说明
示例：	示例： ①分割成两个菱形． ②两个菱形的边长都为a，锐角都为60°．

（2）图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．

分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；
方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形；
（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可．

解答：解：（1）在表格中作答：

分割图形

分割或图形说明

示例：

示例：
①分割成两个菱形．
②两个菱形的边长都为a，锐角都为60°．

①分割成两两个等腰梯形．
②两个等腰梯形的腰长都为a，
上底长都为

，下底长都为

a，
上底角都为120°，下底角都为60°．

①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形．
②等边三角形的边长为a，
等腰三角形的腰长为a，顶角为120°．
直角三角形两锐角为30°、60°，三边为a、

a、2a．

（2）

如右图①，连接BD，取AB中点E，连接DE．
∵AB=2a，E为AB中点，
∴AE=BE=a，
∵AD=AE=a，∠A=60°，
∴△ADE为等边三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a，
又∵∠BED+∠DEA=180°，
∴∠BED=180°-∠DEA=180°-60°=120°，
又∵DE=BE=a，∠BED=120°，
∴∠BDE=∠DBE=

（180°-120°）=30°，
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°

∴Rt△ADB中，∠ADB=90°，
由勾股定理得：BD²+AD²=AB²，即BD²+a²=（2a）²，
解得BD=

a．
如右图②所示，AC=2OC=2

OB2+BC2

a2+a2

=2•

a．
∴BD=

a，AC=

a．

点评：本题是几何综合题，考查了四边形（平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形）的图形与性质．第（1）问侧重考查了几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力；第（2）问侧重考查了几何计算能力．本题考查知识点全面，对学生的几何综合能力要求较高，是一道好题．

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