Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点A作∠OAB=45°，在角的一边上截取AB=3，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，D在线段BC上，且BD=$\frac{1}{4}$OA=$\sqrt{2}$，E，F分别是线段OA，AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．

（1）填空：点D的坐标为（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系式；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF边折叠，得到△A′EF，试求折叠后点A′的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质求出AG=BG，再由图形特点求出CD即可；
（2）先由角平分线得出∠BAO=∠DOE=45°，判断出△ODE∽△AEF，再求出OD，由比例式建立方程，即可；
（3）分三种情况进行计算，分别先判断出直角三角形，平行四边形，菱形再由它们的特点进行计算即可．

解答 解：（1）如图1，

作BM⊥OA，
在Rt△BAG中，∠BAG=45°，AB=3，
∴BG=AG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BD=$\frac{1}{4}$OA=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$，OA=4$\sqrt{2}$，
∴CD=BC-BD=OA-AG-BD=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴D（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
故答案为（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
（2）连接OD，如图2，

由（1）知，点D是∠AOC的平分线上，
∴∠DOE=∠COD=45°，
∵∠DEF=45°，∠ODE=∠AEF，
∵∠BAO=∠DOE=45°
∴△ODE∽△AEF，
∴$\frac{OE}{AF}=\frac{OD}{AE}$，
在Rt△OCD中，OC=CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴OD=3，
∴$\frac{x}{y}=\frac{3}{4\sqrt{2}-x}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，
∴y与x的函数关系式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，
（3）当△AEF为等腰三角形时，分三种情况，
①当EF=AF时，如图3，

∵∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴点D恰好在A′E上，（A′E⊥OA）
∴A′E=AE′=OA-OE=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵OE=CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴点A′（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$），
②当EF=AE时，如图4，

∴∠EFA=∠A=45°，
∴∠FEA=90°，
∴折叠后点A′在x轴上，
∵∠DEF=∠AFE=45°，
∴DE∥AB，
∵DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形，
∴AE=DB=$\sqrt{2}$，
∴A′E=AE=$\sqrt{2}$，
∴OA′=OA-AA′=4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴A′（2$\sqrt{2}$，0），
③当AF=AE时，如图5，

∵四边形AEA′F是菱形，
由（2）知，△ODE∽AEF，
∴OE=OD=3，
∴AE=AF=OA-OE=4$\sqrt{2}$-3，
过F作FH⊥AE，
∴FH=AFsin45°=（4$\sqrt{2}$-3）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
过A′作′⊥x轴，
∴ME=HA=FH=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴A′M=FH=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴A′M=OA-ME=4$\sqrt{2}$-2（4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，
∴点A′的坐标为（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
综合，点A′的坐标为A′（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$），（2$\sqrt{2}$，0），（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1，4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，相似三角形的性质和判定，直角三角形，平行四边形，菱形额性质和判定，解本题的关键是利用直角三角形，平行四边形，菱形的性质计算线段．