Question

已知抛物线F₁：y=x²-4x-1，抛物线F₂与F₁关于点C（1，0）成中心对称，则在F₁与F₂围成的封闭图形上，平行于y轴的线段的长度最大值是

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：先把y=x²-4x-1配成顶点式得到抛物线F₁的顶点坐标为（2，-5），再求出点（2，-5）关于点C（1，0）的对称点的坐标为（0，5），于是根据顶点式写出抛物线F₂的解析式为y=-x²+5，接着解方程组

y=(x-2)2-5 y=-x2+5

得F₁与F₂围成的封闭图形中点的横坐标的取值范围为-1≤x≤3，求平行于y轴的线段的长度就是求横坐标相同的条件两抛物线上的点的纵坐标之差，所以在F₁与F₂围成的封闭图形上，平行于y轴的线段的长度l=-x²+5-[（x-2）²-5]，再利用二次函数的性质求最大值．

解答：解：∵y=x²-4x-1=（x-2）²-5，
∴抛物线F₁的顶点坐标为（2，-5），
∵点（2，-5）关于点C（1，0）的对称点的坐标为（0，5），
∴抛物线F₂的解析式为y=-x²+5，
解方程组

y=(x-2)2-5 y=-x2+5

得

x=-1 y=6

或

x=3 y=14

，
∴F₁与F₂围成的封闭图形中点的横坐标的取值范围为-1≤x≤3，
在F₁与F₂围成的封闭图形上，平行于y轴的线段的长度l=-x²+5-[（x-2）²-5]=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∵a=-2＜0，
∴当x=1时，l有最大值8．
故答案为8．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．