Question

1．如图，一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$与反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象交于点A（2，2$\sqrt{3}$），点C（4，b）．
（1）连接OA、OC，求△OAC的面积；
（2）过点C作直线m平行x轴，问是否在直线m上存在点P，使△OAP为以OA为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$与反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象交于点A（2，2$\sqrt{3}$），点C（4，b），求得a与b的值，继而求得点B，C，D的坐标，再由S_△OAC=S_△BOD-S_△OAB-S_△OCD求得答案；
（2）分别从若∠AOP=90°与若∠OAP=90°，利用相似三角形的性质，即可求得点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，连接OA，OC，
∵点A（2，2$\sqrt{3}$）在反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象上，
∴a=xy=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∵点C（4，b）在反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象上，
∴b=$\frac{4\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴点C（4，$\sqrt{3}$），
∵一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$与x，y轴的交点分别为D，B，
∴D（6，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
∴S_△OAC=S_△BOD-S_△OAB-S_△OCD=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×2-$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$；

（2）存在．
如图2，过点A作AM⊥x轴于点M，设直线m交x轴于点E，
∵C（4，$\sqrt{3}$），A（2，2$\sqrt{3}$），
∴OE=4，OM=2$\sqrt{3}$，AM=2，
①若∠AOP=90°，则∠AOE+∠EOP=90°，
∵∠AOM+∠AOE=90°，
∴∠AOM=∠EOP，
∵∠AMO=∠OEP=90°，
∴△AOM∽△POE，
∴$\frac{OM}{OE}=\frac{AM}{EP}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{2}{EP}$，
解得：EP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P₁（4，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；
②若∠OAP=90°，过点A作AF⊥m于点F，
则∠AOM=∠FAP=90°-∠OAM，∠AMO=∠AFP=90°，
∴△AOM∽△PAF，
∴$\frac{AM}{PF}=\frac{OM}{AF}$，
∴$\frac{2}{PF}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
解得：PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴EP=EF-PF=2$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P₂（4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；
综上：P₁（4，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），P₂（4，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．