Question

9．阅读并解决下列问题：
（1）如图①，△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC=120°．
（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC=70°，求∠EFC的度数．
（3）如图③四边形ABCD和四边形BCEF有公共的顶点B、C，且BF平分∠ABC，CE平分∠DCM，若已知∠A+∠D=210°，∠E=110°，直接写出∠F的度数：∠F=85°．

Answer 1

分析 （1）首先根据三角形的内角和定理，求出∠ABC、∠ACB的度数和是多少；然后根据∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，求出∠DBC、∠DCB的度数和是多少；最后在△BCD中，根据三角形的内角和定理，用180°减去∠DBC、∠DCB的度数和，求出∠BDC的度数是多少即可．
（2）首先根据AE∥BC，可得∠A+∠B=180°，再用五边形的内角和减去180°，求出∠AED、∠EDC、∠BCD的度数和是多少；然后根据∠EDC=70°，求出∠AED、∠EDC的度数和是多少；最后根据EF平分∠AED，CF平分∠BCD，求出∠FED、∠FCD的度数和是多少；再用四边形CDEF的内角和减去∠FED、∠FCD、∠EDC的度数和，求出∠EFC的度数是多少即可．
（3）首先根据∠A+∠D=210°，求出∠ABF、∠CBF、∠BCD的度数和是150°；再根据BF平分∠ABC，判断出2∠CBF+∠BCD=150°…①；然后判断出∠BCD+2∠DCE=180°…②，由①②，可得2∠CBF+2∠BCD+2∠DCE=150°+180°=330°，据此求出∠CBF+∠BCD+∠DCE=330°÷2=165°；最后用360°减去∠CBF、∠BCD、∠DCE、∠E的度数和，求出∠F的度数是多少即可．

解答 解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，
∴∠ABD=∠DBC，∠DCB=∠ACD，
∴∠DBC+∠DCB=120°÷2=60°，
∴∠BDC=180°-60°=120°．

（2）∵AE∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵五边形ABCDE的内角和是：
180°×（5-2）=180°×3=540°，
∴∠AED+∠EDC+∠BCD=540°-180°=360°，
∵∠EDC=70°，
∴∠AED+∠BCD=360°-70°=290°，
∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，
∴∠FED+∠FCD=290°÷2=145°，
∴∠EFC=360°-（∠FED+∠FCD+∠EDC）
=360°-（145°+70°）
=360°-215°
=145°

（3）四边形的内角和是：
180°×（4-2）=180°×2=360°，
∵∠A+∠D=210°，
∴∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°-210°=150°，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴2∠CBF+∠BCD=150°…①；
∵CE平分∠DCM，
∴∠DCE=∠MCE，
又∵∠BCD+∠DCE+∠MCE=180°，
∴∠BCD+2∠DCE=180°…②，
由①②，可得
2∠CBF+2∠BCD+2∠DCE=150°+180°=330°，
∴∠CBF+∠BCD+∠DCE=330°÷2=165°，
∴∠F=360°-（∠CBF+∠BCD+∠DCE）-∠E
=360°-165°-110°
=85°
故答案为：120°、145°、∠F=85°．

点评 （1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．