Question

11．如图，在平面直角坐标系中，直线EC与两坐标轴分别交于E（0，3）、C（4，0）两点，与直线y=x+1交于点A，直线y=x+1交x轴于点B，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线EC的解析式及点A的坐标；
（3）当△CBD的面积为10时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）把y=0代入函数解析式求出x，即可得出B点的坐标；
（2）设直线EC的解析式为y=kx+b，把E（0，3）、C（4，0）代入即可求出k、b，即可得出函数解析式，求出两函数组成的方程组的解即可；
（3）设D点的纵坐标为a，关键面积求出a的值，即可得出答案．

解答 解：（1）在y=x+1中，当y=0时，x=-1，
所以点B的坐标为（-1，0）；

（2）设直线EC的解析式为：y=kx+b，
把E（0，3）、C（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ 4k+b=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{3}{4}\\ b=3\end{array}\right.$，
所以直线EC的解析式为：$y=-\frac{3}{4}x+3$，

由方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-\frac{3}{4}x+3\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{7}\\ y=\frac{15}{7}\end{array}\right.$，
所以点A的坐标为$（{\frac{8}{7}，\frac{15}{7}}）$；

（3）设点D的纵坐标为a，
则${S_{△DBC}}=\frac{1}{2}BC•|a|=\frac{1}{2}×5×|a|=10$，
|a|=4，
解得：a=±4，
当a=4时，由$4=-\frac{3}{4}x+3$得$x=-\frac{4}{3}$，此时点D的坐标为（$-\frac{4}{3}$，4），
当a=-4，由$-4=-\frac{3}{4}x+3$得$x=\frac{28}{3}$，此时点D的坐标为（$\frac{28}{3}$，-4），
所以点D的坐标为（-$\frac{4}{3}$，4），（$\frac{28}{3}$，-4）．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能正确运用知识点进行计算是解此题的关键．