Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC.

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q，试问线段PQ的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；
（3）若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°，求点M的坐标.

Answer 1

（1）y=x²-4x+3；（2）存在，；（3）（2，2-）或（2，2+）.

解析试题分析：（1）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线求出a、c即可得解；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出PQ的长，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）求出△ABC的外接圆的圆心D的坐标，再求出外接圆的半径，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分点M在点D的下方和上方两种情况写出点M的坐标即可．
试题解析：：（1）抛物线的对称轴为直线x=
∵点A（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），
∵点C在y轴的正半轴，OB=OC，
∴点C的坐标为（0，3），
∴，
解得，
∴此抛物线的解析式y=x²-4x+3；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴PQ=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-）²+，
∵点Q在x轴下方，
∴1＜x＜3，
又∵-1＜0，
∴当x=时，PQ的长度有最大值；
（3）如图，设△ABC的外接圆的圆D，

则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上，
∴点D的坐标为（2，2），
∴外接圆的半径为，
∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点，
点M在点D的下方时，M₁（2，2-），
点M在点D的上方时，M₂（2，2+），
综上所述，M（2，2-）或（2，2+）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°．
考点: 二次函数综合题.