Question

我乡香炉冲茶厂种植的“香炉冲牌”有机“岳西翠尖”，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，“香炉冲牌”有机“岳西翠尖”的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的关系可以近似的用如图1种的一条折线表示．“岳西翠尖”的种植除了与气候，种植技术有关外，其种植成本z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似的用如图2的抛物线表示．
（1）直接写出图1表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的函数关系式；
（2）求出图2种表示的种植成本z（元）与上市时间t（天）（t＞0）的函数关系式；
（3）认定市场销售价减去种植成本为纯收益单价，问何时上市“香炉冲牌”有机“岳西翠尖”纯收益最大？
（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克．）

Answer 1

分析：（1）依题意得y与x之间的函数关系式为分段函数．
（2）依题意得z与a之间的函数关系式，如图得出该函数经过的坐标得出a的值．
（3）设纯收益单价为W元，则W=销售单价-成本单价，根据y与x的函数关系式为分段函数可得w与x也为分段函数．

解答：解：（1）依题意，可建立函数关系式：
y=

- 2 3 t+160(0＜t＜120) 80(120≤t＜150) 2 5 t+20(150≤t≤180)

．

（2）由题目已知条件可设z=a（t-110）²+20，
∵图象过点（60，

85

3

），
∴

85

3

=a（60-110）²+20，
∴a=

1

300

，
∴z=

1

300

（t-110）²+20（t＞0）．

（3）设纯收益单价为W元，则W=销售单价-成本单价，
故W=

- 1 300 (t-10)2+100(0＜t＜120) - 1 300 (t-110)2+60(120≤t＜150) - 1 300 (t-170)2+56(150≤t≤180)

，
①当W=-

1

300

（t-10）²+100（0＜t＜120）时，有t=10时，W最大，最大值为100；
②当W=-

1

300

（t-110）²+60（120≤t＜150）时，由图象知，有t=120时，W最大，最大值为59

2

3

；
③当W=-

1

300

（t-170）²+56（150≤t≤180）时，有t=170时，W最大，最大值为56．
综上所述，在t=10时，纯收益单价最大，最大值为100元/500g．

点评：此题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心．难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点．