Question

（2013•荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．
（1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案；
（2）过F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是BC中点以及BC=2，即可得出BP的取值范围；
（3）首先得出当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA•tan30°=

3

3

，即可得出答案．

解答：（1）证明：连接OE
FE、FA是⊙O的两条切线
∴∠FAO=∠FEO=90°
在Rt△OAF和Rt△OEF中，

FO=FO OA=OE

∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），
∴∠AOF=∠EOF=

1

2

∠AOE，
∴∠AOF=∠ABE，
∴OF∥BE，
                                            
（2）解：过F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP-BQ=x-y
PF=EF+EP=FA+BP=x+y
∵在Rt△PFQ中
∴FQ²+QP²=PF²
∴2²+（x-y）²=（x+y）²
化简得：y=

1

x

，（1＜x＜2）；

（3）存在这样的P点，
理由：∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，
即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此时Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=

3

3

，
∴x=

1

y

=

3

∴当x=

3

，y=

3

3

时，△EFO∽△EHG．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出FQ²+QP²=PF²是解题关键．