Question

3．如图，由正比例函数y=-x沿y轴的正方向平移4个单位而成的一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求一次函数y=-x+b和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．

Answer 1

分析 （1）根据“上加下减”即可求出一次函数的解析式，将x=1代入一次函数解析式中求出n值，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点B的坐标，设直线y=-x+4与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M、N的坐标，根据三角形的面积结合S_△AOB=S_△MON-S_△AON-S_△BOM即可求出△ABO的面积．

解答 解：（1）∵正比例函数y=-x沿y轴的正方向平移4个单位得到一次函数y=-x+b，
∴一次函数的解析式为y=-x+4．
∵点A（1，n）在直线y=-x+4上，
∴n=3，
∴A（1，3）．
∵点A（1，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$．

（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴B（3，1）．
设直线y=-x+4与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，
∴M（4，0），N（0，4），
∴S_△AOB=S_△MON-S_△AON-S_△BOM=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×4×1=4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点A的坐标；（2）利用分割图形求面积法求出△ABO的面积．