Question

如图，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，OA=5，AB=2．点E在线段OC上，作∠MEN=∠AOC，使∠MEN的一边始终经过点A，另一边交线段BC于点F，连接AF．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点F是BC的中点时，求点E的坐标；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

（1）y＝－x²＋x；（2）（，0）；（3）（3，0）、（2，0）、（，0）.

试题分析：（1）根据题意可设该抛物线的解析式为：y=ax（x-8）（a≠0）．然后将点A或点B的坐标代入求值即可；
（2）由相似三角形△AOE∽△ECF的对应边成比例求得线段OE的长度，则易求点E的坐标；
（3）需要分类讨论：当AE=EF、AF=EF和AE=AF时，分别求得点E的坐标．
试题解析：（1）抛物线中，AB∥OC，由对称性可知有等腰梯形AOCB.
而OA＝5，AB＝2，OC＝8
则A（3，4），B（5，4）
抛物线的解析式是y＝－x²＋x
（2）可以证明△AOE∽△ECF
则，不妨设E（x，0），其中0≤x≤8，
由，整理得x²－8x＋12.5＝0，解得
从而点E的坐标为（，0）
（3）由(2)中相似还可知AO:EC＝AE:EF，若△AEF为等腰三角形，则有三种可能.

①当EA＝EF时，有EC＝AO＝5，∴E（3，0）
②当AE＝AF时，作AH⊥EF于H，有AE:EF＝5:6
∴EC＝AO＝6，
∴E（2，0）
③当FA＝FE时，同理可得AE:EF＝6:5
∴EC＝AO＝，
∴E（，0）
综上所述，符合要求的点E有三个.
考点:二次函数综合题.