Question

8．在平面直角坐标系中，点A（4，0），B为第一象限内一点，且△OAB为等边三角形，C为OB的中点，连接AC．
（1）如图①，求点C的坐标；
（2）如图②，将△OAC沿x轴向右平移得到△DFE，设OD=m，其中0＜m＜4．
①设△OAB与△DEF重叠部分的面积为S，用含m的式子表示S；
②连接BD，BE，当BD+BE取最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （1）过C作CH⊥OA，垂足为H，根据线段与角度之间的关系，可求得C点的坐标为（1，$\sqrt{3}$）； 
（2）①分两种情况讨论，Ⅰ、当0＜m≤2时，重合面积为四边形，此时S=S_△DEF-S△AGF
Ⅱ、当2＜m＜4时，重合面积为等边三角形，此时S=S_△KAD；
②分0＜m≤2和2＜m＜4两种情况讨论计算，
Ⅰ、如图4，BD+BE转化为BD+BE'，而BD+BE'最小，则当D、B、E'三点共线时，BD+BE取得最小值，可求得E$（\frac{7}{3}，\sqrt{3}）$．
Ⅱ、同Ⅰ的方法即可得出m=4，不符合要求．

解答 解：（Ⅰ）如图1，

过C作CH⊥OA，垂足为H，
∵OA=4，△OAB为等边三角形，
∴∠BOA=60°，OB=4，
∵C为OB的中点，
∴OC=2，∠OCA=90°，
∴∠OCH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}OC$=1，CH=$\sqrt{O{C}^{2}-O{H}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为（1，$\sqrt{3}$）；     
（Ⅱ）①∵△DEF是△OCA平移得到的，
∴AF=OD=m，
当0＜m≤2时，如图2，

设AB与EF交于点G，
过点A作AI⊥EF，垂足为I，
∵∠BAF=120°，∠DFE=30°，
∴∠AGF=30°，
∴AI=$\frac{1}{2}$m，GF=2FI=$\sqrt{3}m$，
∴S=S_△DEF-S△AGF=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²，
当2＜m＜4时，如图3，

设AB与DE交于点K
∵∠KDA=∠KAD=60°，
∴△KAD为等边三角形，
∵DA=4-m，
∴S=S_△KAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-m）²，
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}（8-{m}^{2}），0＜m≤2}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}（4-{m}^{2}），2＜m＜4}\end{array}\right.$；
②Ⅰ、当0＜m≤2时，如图4，过点B作直线l∥x轴，
作点E关于直线l的对称点E'，直线l的解析式为y=2$\sqrt{3}$，
连接BE，BE'，
∴BE=BE'，
∴BD+BE=BD+BE'，要使BD+BE最小，
∴BD+BE'最小，
即：点D，B，E'三点共线，
∵△OAC沿x轴向右平移得到△DFE，设OD=m，
∴CE=OD=m，D（m，0），
由（1）知，C（1，$\sqrt{3}$），
∴E（m+1，$\sqrt{3}$），
∵点E关于直线l的对称点E'，
∴E'（m+1，3$\sqrt{3}$），
由点D（m，0），E'（m+1，3$\sqrt{3}$），得出直线DE'的解析式为y=3$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$m，
∵点B在直线DE'上，
∴3$\sqrt{3}$×2-3$\sqrt{3}$m=2$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{4}{3}$，
∴E$（\frac{7}{3}，\sqrt{3}）$．
Ⅱ、当2＜m＜4时，作点E关于直线l的对称点E'，连接BE，BE'，
∴BE=BE'，
∴BD+BE=BD+BE'，要使BD+BE最小，
∴BD+BE'最小，
即：点D，B，E'三点共线，
∵△OAC沿x轴向右平移得到△DFE，设OD=m，
∴CE=OD=m，D（m，0），
由（1）知，C（1，$\sqrt{3}$），
∴E（m+1，$\sqrt{3}$），
∵点E关于直线l的对称点E'，
∴E'（m+1，$\sqrt{3}$），
由点D（m，0），E'（m+1，$\sqrt{3}$），得出直线DE'的解析式为y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$m，
∵点B在直线DE'上，
∴$\sqrt{3}$×2-$\sqrt{3}$m=2$\sqrt{3}$，
∴m=0（舍去）
∴当BD+BE取最小值时，点E的坐标为$（\frac{7}{3}，\sqrt{3}）$．

点评 此题是几何变换综合题，以三角形为背景，考查等边三角形的性质、平移的性质、待定系数法，用面积割补法来求不规则图形的面积，对称的性质，体现了分类讨论的思想，确定出直线DE'的解析式是解本题的关键，借助点D，E'的横坐标相差1，此题（2）②容易丢点第二种不成立的理由．