【题目】如图,△ABC中,AB=AC.O是△ABC内一点,OD是AB的垂直平分线,OF⊥AC,且OD=OF.
(1)当∠OAC=27°时,求:∠OBC的度数.
(2)求证:AF=CF.
【答案】(1)∠OBC=36°;(2)见解析
【解析】
(1)由AB=AC,可得∠ABC=∠ACB, , ,由OD是AB的垂直平分线,得出OA=OB,,然后根据∠OAC的度数求出∠ABC,∠ABO的度数,最后利用∠OBC=∠ABC﹣∠ABO求解即可
(2)通过垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证出OA=OC,然后通过HL证明,即可证出AF=FC.
解:(1)连接AO,并延长交BC于点E,连接OB,OC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,AO平分∠DAF,
,
∵OD是AB的垂直平分线,
∴OA=OB,
∵∠OAC=27°
∴∠BAC=27°×2=54°,
∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣54°)=63°,
∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°;
(2)∵OD是AB的垂直平分线,
∴OA=OB,
又∵AB=AC,
∴AE⊥BC,BE=CE,
∴OE垂直平分BC,
∴OB=OC,
∴OA=OC,
∵OF⊥AC,
在和中,
∴
∴AF=FC.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,CD⊥AB于D,P是线段CD上一个动点,以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE,连结AE,DE.
(1)∠BAE的度数是否为定值?若是,求出∠BAE的度数;
(2)直接写出DE的最小值。
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【题目】如图,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm,∠CAB=90°,求:
(1)AD的长;
(2)△ACE和△ABE的周长的差.
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【题目】在直角坐标系中,△ABC的顶点坐标如图所示,
(1)请你在图中先作出△ABC关于直线m(直线m上点的横坐标均为﹣1)对称图形△A1B1C1,再作出△A1B1C1关于直线n(直线n上点的纵坐标均为2)对称图形△A2B2C2;
(2)线段BC上有一点M(a,b),点M关于直线m的对称点为N,点N关于直线的n的对称点为E,求N、E的坐标(用含a,b的代数式表示).
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,BH⊥AB于点B,点M是BC的中点,连接FM并延长交BH于点H.
(1)在图①中,∠ABC=60°,AF=3时,FC= ,BH= ;
(2)在图②中,∠ABC=45°,AF=2时,FC= ,BH= ;
(3)从第(1)、(2)中你发现了什么规律?在图③中,∠ABC=30°,AF=1时,试猜想BH等于多少?并证明你的猜想.
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【题目】如图,AB=AC,需说明△ADC≌△AEB,可供添加的条件如下:①∠B=∠C,②AD=AE,③∠ADC=∠AEB,④DC=BE,选择其中一个能使△ADC≌△AEB,则成立的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,任意画一个∠BAC=60°的△ABC,再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD,BE和CD相交于点P,连接AP,有以下结论:①∠BPC=120°;②AP平分∠BAC;③AD=AE;④PD=PE;⑤BD+CE=BC;其中正确的结论为_____.(填写序号)
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