Question

【题目】如图所示，正方形ABCD中，AB=8，BE=DF=1，M是射线AD上的动点，点A关于直线EM的对称点为A′，当△A′FC为以FC为直角边的直角三角形时，对应的MA的长为___________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

由正方形的性质可得AB=CD=8，∠D=∠C=90°，由折叠的性质可得AE=A'E=7，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求MA的长．

如图，若∠FCA'=90°，即点A'在BC上，过点M作MN⊥BC于点N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，且MN⊥BC
∴四边形MNCD是矩形
∴MN=CD=8
∵AB=8，BE=DF=1，
∴AE=CF=7
∵点A关于直线EM的对称点为A′，
∴AE=A'E=7，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°
∴A'B=，
∵∠BA'E+∠MA'N=90°，∠BA'E+∠A'EB=90°，
∴∠BEA'=∠MA'N，且∠B=∠MNA'=90°
∴△A'BE∽△MNA'，
∴，
∴
∴A'M=

如图，若∠A'FC=90°，过点A'作HG⊥AD，过点E作EN⊥HG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，且HG⊥AD
∴四边形HGCD是矩形
∴HG=CD=8，
同理可得NG=BE=1，DF=A'H=1，AE=HN
∵AB=8，BE=DF=1，
∴AE=CF=7
∵点A关于直线EM的对称点为A′，
∴AE=A'E=7=HN，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°
∴A'N=HN-A'H=6
∴EN=，
∵∠NA'E+∠MA'H=90°，∠NA'E+∠A'EN=90°，
∴∠NEA'=∠MA'H，且∠ENA'=∠MHA'=90°
∴△A'NE∽△MHA'，
∴，
∴
∴A'M=，

故答案为：或