Question

如图，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF交AD于G，则下列结论：
①AE=AF； ②EG=GF； ③AD⊥EF； ④BE=DE．其中正确的是

1. A.
   ①③④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③

Answer 1

D
分析：根据角平分线的性质，得DE=DF，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点D在EF的垂直平分线上；根据等角对等边，AE=AF，则点A在EF的垂直平分线上，从而可证得AD⊥EF；又因为AE=AF，AG共线，AD是角平分线，从而可根据SAS证明△AEG≌△AFG，则有EG=GF．
解答：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，∠DEF=∠DFE，
∵∠DEA=∠DFA=90°，
∴∠FEA=∠EFA，
∴AE=AF，故①正确；
∴点A在EF的垂直平分线上，
∴AD⊥EF，故③正确；
∵AE=AF，∠EAG=∠FAG，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG，
∴EG=GF，故②正确．
故选D．
点评：此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理．