Question

已知连续2008个正整数的和是一个完全平方数，则其中最大的数的最小值是

2133

．

Answer 1

分析：设连续2008个正整数中最小的数是m，则m+（m+1）+…+（m+2007）=（2m+2007）×2008÷2=2008m+2007×1004，根据这2008个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n，使2008m+2007×1004=n²，由上式左边能被1004整除，故n²也必能被1004整除，1004=2×2×251，故n也必能被251×2=502整除，设n=502k，k为正整数．从而得出连续2008个正整数为126，127，128，…，2133．

解答：解：设连续2008个正整数中最小的数是m，则
m+（m+1）+…+（m+2007）=（2m+2007）×2008÷2=2008m+2007×1004
如果这2008个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n有2008m+2007×1004=n²
由于上式左边能被1004整除，故n²也必能被1004整除，1004=2×2×251，
故n也必能被251×2=502整除，设n=502k，k为正整数，代入2008m+2007×1004=n²得
2m+2007=251k²，
故2m+2007能被素数251整除，即2m-1能被251整除，取最小的m，使2m-1能被251整除，
取2m-1=251，m=126，代入2m+2007=251k²，
解得k=3，n=1506，此时连续2008个正整数为126，127，128，…，2133．
满足条件的2008个正整数中最大的数的最小值是2133．

点评：本题考查了完全平方数的应用，是重点内容，要熟练掌握．