【题目】如图,已知等边△ABC中,AB=12.以AB为直径的半⊙O与边AC相交于点D.过点D作DE⊥BC,垂足为E;过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求EF的长;
(3)求sin∠EFD的值.
【答案】(1)见解析;(2)EF=;(3)sin∠EFD=.
【解析】
(1)先判断出△AOD是等边三角形,进而得出OD∥BC,即可得出结论;
(2)先求出CD=6,进而求出CE,即可求出BE,即可得出结论;
(3)先求出OG,DG,再求出BF,即可求出FG,利用勾股定理求出DF,即可得出结论.
(1)如图1,连接OD,
∴∠A=∠ADO,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°,
∴∠A=∠ADO=60°,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠AOD=60°=∠B,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴DE⊥OD,
∵点D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线;
(2)由(1)知,OD∥BC,
∵OA=OB,
∴AD=CD,
∵AC=12,
∴CD=6,
在Rt△CDE中,∠C=60°,
∴∠CDE=30°,
∴CE=CD=3,
∴BE=BC﹣CE=9,
在Rt△BEF中,∠B=60°,
∴∠BEF=30°,
∴EF=BEcos∠BEF=9×cos30°=;
(3)如图2,连接DF,OD,过点D作DG⊥AB于G,
∵EF⊥AB,
∴∠EFD=∠GDF,
∵△AOD是等边三角形,
∴OG=OA=3,
∴DG=OGtan∠AOD=3,
在Rt△BEF中,∠BEF=30°,BE=9,
∴BF=BE=,
∴OF=OB﹣BF=6﹣=
∴FG=OG+OF=,
在Rt△DGF中,根据勾股定理得,DF==,
∴sin∠EFD=sin∠GDF===.
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【题目】小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现:
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元)
(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;
(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?
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【题目】已知AB是⊙O的直径,C是圆上的点,D是优弧ABC的中点.
(1)若∠AOC=100°,则∠D的度数为 ,∠A的度数为 ;
(2)求证:∠ADC=2∠DAB.
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【题目】已知矩形中,,,点、分别在边、上,将四边形沿直线翻折,点、的对称点分别记为、.
(1)当时,若点恰好落在线段上,求的长;
(2)设,若翻折后存在点落在线段上,则的取值范围是______.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,E是AB边上一点,D是AC边上一点,且点D不与A、C重合,ED⊥AC.
(1)当sinB=时,
①求证:BE=2CD.
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时(45°<∠CAD<90°).BE=2CD是否成立?若成立,请给出证明;若不成立.请说明理由.
(2)当sinB=时,将△ADE绕点A旋转到∠DEB=90°,若AC=10,AD=2,求线段CD的长.
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【题目】为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况,随机抽查了部分参赛学生的成绩,整理并制作出如下的统计表和统计图,如图所示,请根据图表信息解答下列问题:
组别 | 分数段(分) | 频数 |
A组 | 60≤x<70 | 30 |
B组 | 70≤x<80 | 90 |
C组 | 80≤x<90 | m |
D组 | 90≤x<100 | 60 |
(1)本次调查的总人数为 人.
(2)补全频数分布直方图;
(3)若A组学生的平均分是65分,B组学生的平均分是75分,C组学生的平均分是85分,D出学生的平均分是95分,请你估计参加本次测试的同学们平均成绩是多少分?
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