Question

7．如图所示，平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y=-x²+2k（k≠0）顶点为C点，抛物线交x轴于A、B两点，且AB=CO；
（1）求此抛物线解析式；
（2）点P为第一象限内抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，连接PC，设点P的横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点D作DE⊥y轴交 AC于E，连接PE，交y轴于F，若5CF=3OF，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意点B坐标（k，0），代入抛物线y=-x²+2k得-k²+2k=0，解方程即可．
（2）如图1中，作PM⊥AB于M．设点P坐标（t，-t²+4），由OD∥PM，得$\frac{OD}{PM}$=$\frac{AO}{AM}$，求出OD，即可解决问题．
（3））如图2中，作PM⊥AB于M，ED的延长线交PM于N．先求出直线AC解析式，得到点E坐标，推出DE=DN，推出DF是△EPN的中位线，根据PN=2DF，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+2k（k≠0）顶点为C点，
∴点C坐标（0，2k，
∵AB=CO，OA=OB，
∴点B坐标（k，0），代入抛物线y=-x²+2k得-k²+2k=0，
∴k=2或0（舍弃），
∴抛物线解析式为y=-x²+4．

（2）如图1中，作PM⊥AB于M．

设点P坐标（t，-t²+4），
∵OD∥PM，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{AO}{AM}$，
∴$\frac{OD}{-{t}^{2}+4}$=$\frac{2}{2+t}$，
∴OD=4-2t，
∴CD=4-（4-2t）=2t，
∴S=$\frac{1}{2}$•2t•t=t²，（0＜t＜2）

（3）如图2中，作PM⊥AB于M，ED的延长线交PM于N．

∵∠NDO=∠DOM=∠NMO=90°，
∴四边形OMND是矩形，
∴DN=OM=t
∵OC=4，5CF=3OF，设CF=3k，OF=5k，
则8k=4，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴CF=$\frac{3}{2}$，OF=$\frac{5}{2}$，
∵直线AC的解析式为y=2x+4，D（0，4-2t），DE⊥OC，
∴E（-t，4-2t），
∴ED=DN=OM=t
∵DF∥PN，
∴EF=FP，
∴PN=2DF，
∴-t²+4-（4-2t）=2[$\frac{5}{2}$-（4-2t）]，
∴t²+2t-3=0，
∴t=1或-3（舍弃），
∴点P坐标（1，3）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．