Question

6．如图，一次函数y=x+3与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象相交于点A（m，4），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点p在双曲线上，且△PAB为直角三角形（∠BAP=90°），则点p的坐标是（4，1）．

Answer 1

分析 （1）由点A在一次函数解析式中，可得出关于m的一元一次方程，解方程可求出m的值，从而得出点A的坐标，由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（m，n），根据反比例函数图象上点的坐标特征以及两直线垂直斜率乘积为-1，可得出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（m，4）在一次函数y=x+3图象上，
∴4=m+3，解得：m=1，
∴点A的坐标为（1，4）．
∵A（1，4）在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，
∴k=1×4=4．
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$．
（2）设点P的坐标为（m，n），
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{mn=4}\\{\frac{n-4}{m-1}×1=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=4}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及垂线的性质，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）找出关于m、n的二元一次方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数的系数k是关键．