Question

已知：如图，等边△ABC的边长为6，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE=2，直线l过点A，且l∥BC，若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设F点运动的时间为t秒，当t＞0时，直线DF交l于点G，GE的延长线与BC的延长线交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）当t为何值时，AG=AE？
（2）请证明△GFH的面积为定值；
（3）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点？

Answer 1

解：（1）∵GA∥BC，
∴△ADG∽△BDF，
∴，
∵AB=6，AD=2，∴BD=4，
∴∴AG=，
若AG=AE，
∵AE=AD，
∴有=2，
即t=4s时，AG=AE．

（2）∵AD=AE．AB=AC，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，∠1=∠B，
∴DE∥BH
∴△GDE∽△GFH，
∴，
又∵l∥BC
∴
∴BC=FH=6，
又∵△ABC与△GFH高相等．令高为h，则h==，
∴S_△GFH==，即△GFH面积为定值．

（3）点F和点C是线段BH的三等分点，
①当点F在线段BC内时，则BF=FC=CH，∴BF=BC=3，
∴t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点，
②当点F在线段BC的延长线上时，则BC=CF=FH=6，
∴BF=2×6=12
∴当t=12时，点F，点C是线段BH的三等分点，
综上所述，当t=3s或12s时，
点F，点C是线段BH的三等分点．
分析：（1）由GA∥BC可得△ADG∽△BDF，又BF=t，可得AG=，又AG=AE，问题可求．
（2）由题意，点D、E的位置不变，AD=AE=2，△GDE∽△GFH，可得的比值不变，即FH的长度不变，△GFH的FH边的高为定值，从而可证明△GFH的面积为定值．
（3）点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH，BF=t，由运动过程，点F有两种可能的位置，即在BC内，在BC外．在BC内时，BF+FC=BC=6，即2t=6；在BC外时，t=2BC=12，问题解决．
点评：此题综合考查相似三角形，函数与几何图形的关系，动点的运动，运用多种知识点，分类思想等，综合性很强．