Question

函数的图象如图所示．
（1）P_n（x，y）（n=1，2，…）是第一象限内图象上的点，且x，y都是整数．求出所有的点P_n（x，y）；
（2）若P（m，y₁），Q（-3，y₂）是函数图象上的两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为P_n（x，y）是第一象限内的图象上点，且x，y都是整数．
所以x只能取1，2，3，6．
当x=1时，y=6；当x=2时，y=3；当x=3时，y=2；当x=6时，y=1；
所以所有的点分别为P₁（1，6），P₂（2，3），P₃（3，2），P₄（6，1）；

（2）当P（m，y₁）在第一象限时，均有y₁＞y₂，此时m＞0，
当P（m，y₁）在第三象限时，当m＜-3时有y₁＞y₂，
所以实数m的取值范围为：m＞0或m＜-3．
分析：（1）由于P_n（x，y）（n=1，2，…）是第一象限内图象上的点，且x，y都是整数，由此得到以x只能取1，2，3，6，代入函数解析式即可求出对应的函数值，也就求出了所有P的坐标；
（2）由于若P（m，y₁），Q（-3，y₂）是函数图象上的两点，且y₁＞y₂，有两种情况：当P（m，y₁）在第一象限时，均有y₁＞y₂，此时m＞0；当P（m，y₁）在第三象限时，当m＜-3时有y₁＞y₂．由此就求出了实数m的取值范围．
点评：此题主要考查了反比例函数的图象和性质，其中反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．