Question

已知关于x的方程（k-2）x²+（1-2k）x+k=0．
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围；
（2）如果改为方程有实数根，k的取值范围有变化吗？若有变化，求出此时k的取值范围；若没有变化，请说明理由；
（3）方程有实数根，且k为不大于0的整数，求出此时方程的根．

Answer 1

分析：根据根的判别式来列不等式，解不等式求k的取值范围．
（1）因为方程有两个实数根，所以△≥0，且k-2≠0；
（2）因为方程有实数根，不知道方程时一元二次方程还是一元一次方程，所以需要分两种情况考虑；
（3）因为方程有实数根，且k为不大于0的整数，所以△≥0，k≤0，且为整数．

解答：解：（1）由题意

k-2≠0 △=(1-2k)2-4k(k-2)≥0

∴k的取值范围是k≥-

1

4

且k≠2．

（2）有变化．
当k≠2时，k≥-

1

4

；当k=2时，一元一次方程-3x+2=0有实根，
∴k≥-

1

4

．

（3）若方程有实根，则k≥-

1

4

．
又∵k≤0且k为整数，∴k=0，
当k=0时，-2x²+x=0，
∴x₁=0，x₂=

1

2

．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记当方程为一元二次方程时不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．当题中没有明确方程是一元几次方程时，要分情况考虑．思路要严谨不要漏掉各种情况．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．