Question

11、设实数a，b满足：3a²-10ab+8b²+5a-10b=0，求u=9a²+72b+2的最小值．

Answer 1

分析：先对3a²-10ab+8b²+5a-10b=0进行因式分解求得a-2b=0或3a-4b+5=0；然后分类讨论①当a-2b=0时，将a=2b代入u=9a²+72b+2，根据二次函数的性质求其最值；②当3a-4b+5=0时，联合u=9a²+72b+2，来求u=9a²+72b+2的最值．

解答：解：由3a²-10ab+8b²+5a-10b=0可得（a-2b）（3a-4b+5）=0，（6分）
所以a-2b=0，或3a-4b+5=0．（8分）
①当a-2b=0，即a=2b时，
u=9a²+72b+2=36b²+72b+2=36（b+1）²-34，
于是b=-1时，u的最小值为-34，此时a=-2，b=-1．（13分）
②当3a-4b+5=0时，u=9a²+72b+2=16b²+32b+27=16（b+1）²+11，
于是b=-1时，u的最小值为11，此时a=-3，b=-1．（18分）
综上可知，u的最小值为-34．（20分）

点评：本题考查了二次函数的最值．在求二次函数的最值时，一般是将二次函数的一般形式利用配方法将其转化为顶点式后，再来求其最值．