Question

3．已知点A，B分别在x轴的负半轴和正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x²-5x+6=0的两个根，且OA＞OB，点C的坐标为（0，-4），点D在y轴上，直线AD平分∠CAB．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）点P是直线BD上一点，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分解因式法解一元二次方程，结合OA＞OB，且点A，B分别在x轴的负半轴和正半轴上，即可得出点A、B的坐标；
（2）过点D作DE⊥AC于点E，设OD=x，则DE=x，CD=4-x，根据相似三角形的判定及性质结合点A、C的坐标即可得出关于x的一元一次方程，解方程求出x值即可得出点D的坐标，再利用待定系数法即可求出直线BD的解析式；
（3）假设存在，根线段AB为对角线以及AB为边两种情况考虑，根据菱形的性质结合点A、B的坐标和直线BD的解析式即可得出点P、Q的坐标，此题得解．

解答 解：（1）∵x²-5x+6=（x-2）（x-3）=0，
∴x₁=2，x₂=3，
∵OA＞OB，且点A，B分别在x轴的负半轴和正半轴上，
∴A（-3，0），B（2，0）．
（2）过点D作DE⊥AC于点E，如图1所示．
设OD=x，则DE=x，CD=4-x，
∵∠C=∠C，∠DEC=∠AOC=90°，
∴△DEC∽△AOC，
∴$\frac{DE}{AO}=\frac{CD}{AC}$．
∵A（-3，0），C（0，-4），
∴AO=3，AC=5，
∴$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{5}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，-$\frac{3}{2}$）．
设直线BD的解析式为y=kx-$\frac{3}{2}$，
将点B（2，0）代入y=kx-$\frac{3}{2}$中，
0=2k-$\frac{3}{2}$，解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$．
（3）假设存在，以A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形分两种情况（如图2所示）：
①当线段AB为对角线时，
∵A（-3，0），B（2，0），
∴点P、Q的横坐标为$\frac{-3+2}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{8}$），
∴点Q的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{8}$）；
②当线段AB为边时，
∵A（-3，0），B（2，0），
∴AB=5，
∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，
∴BP=AB=5或AP=AB=5．
当BP=AB=5时，∵点P在直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$上，
∴点P的坐标为（6，3）或（-2，-3），
∴点Q的坐标为（1，3）或（-7，-3）；
当AP=AB=5时，∵点P在直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$上，
∴点P的坐标为（-$\frac{22}{5}$，-$\frac{24}{5}$），
∴点Q的坐标为（$\frac{3}{5}$，-$\frac{24}{5}$）．
综上可知：平面内存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形，此时点Q的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{8}$）、（1，3）、（-7，-3）或（$\frac{3}{5}$，-$\frac{24}{5}$）．

点评 本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用分解因式法解一元二次方程；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）分线段AB为对角线以及AB为边两组情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．