【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是边CD上的点,且CE=4,过点E作CD的垂线,并在垂线上截取EF=3,连接CF.将△CEF绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为a.
(1)问题发现
当a=0°时,AF= ,BE= ,= ;
(2)拓展探究
试判断:当0°≤a°<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△CEF旋转至A,E,F三点共线时,直接写出线段BE的长.
【答案】(1)5,4,;(2)的大小无变化,理由见解析;(3)BE=或BE=.
【解析】
(1)根据勾股定理分别计算AF和BE的长可解答;
(2)如图2,连接AC,证明△CEF∽△CBA,得,再证明△ACF∽△BCE,可解答;
(3)当△CEF旋转至A,E,F三点共线时,存在两种情况:连接AC,先计算AF的长,证明△ACF∽△BCE,列比例式可得BE的长.
(1)当a=0°时,如图1,过F作FG⊥AD,交AD的延长线于G,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠BCE=90°,AD=BC=8,AB=CD=6,
∵∠G=∠EDG=∠DEF=90°,
∴四边形DEFG是矩形,
∴DG=EF=3,
∴AG=8+3=11,
∵CE=4,CD=6,
∴FG=DE=6﹣4=2,
Rt△AGF中,由勾股定理得:AF=,
Rt△BEC中,由勾股定理得:BE=,
∴,
故答案为,,;
(2)的大小无变化,理由如下:如图2,连接AC,
∵AB=6,BC=8,EF=3,CE=4,
∴,,
∴,
∵∠CEF=∠ABC=90°,
∴△CEF∽△CBA,
∴,∠ECF=∠ACB,
∴,
∴∠ACF=∠BCE,
∴△ACF∽△BCE,
∴,即的大小无变化;
(3)当△CEF旋转至A,E,F三点共线时,存在两种情况:
①如图3,连接AC,
Rt△ABC中,由勾股定理得:AC==10,
Rt△CEF中,CE=4,EF=3,
∴CF=5,
∴,,
∴,
∵∠FEC=∠ABC,
∴△ABC∽△FEC,
∴∠ACB=∠ECF,
∴∠BCE=∠ACF,
∵,
∴△ACF∽△BCE,
∴,
Rt△AEC中,AE=,
∴AF=AE+EF=+3,
∴BE=;
②如图4,连接AC,
同理得:△AFC∽△BEC,
∴,
AF=AE﹣EF=﹣3,
∴BE=,
综上,BE=或BE=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,以AB为直径作圆交AC、BC于点D、E两点,AF切⊙O于点A,点D是AC中点.
(1)求证:AB=BC;
(2)若,CF=,求⊙O的半径.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某水产基地种植某种食用海藻,从三月一日起的30周内,它的市场价格与上市时间的关系用图①线段表示;它的平均亩产量与时间的关系用图②线段表示;它的每亩平均成本与上市时间的关系用图③抛物线表示.
(1)写出图①、图②所表示的函数关系式;
(2)若市场价×亩产量-亩平均成本 = 每亩总利润,问哪一周上市的海藻利润最大?最大利润是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了解学生的每周平均课外阅读时间,在本校随机抽取若干名学生进行调查,并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表,请根据图表中所给的信息解答下列问题:
组别 | 阅读时间(单位:小时) | 频数(人数) |
8 | ||
20 | ||
24 | ||
4 |
(1)图表中的______,______;
(2)扇形统计图中组所对应的圆心角为______度;
(3)该校共有学生1500名,请估计该校有多少名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】黄石市在创建国家级文明卫生城市中,绿化档次不断提升.某校计划购进A,B两种树木共100棵进行校园绿化升级,经市场调查:购买A种树木2棵,B种树木5棵,共需600元;购买A种树木3棵,B种树木1棵,共需380元.
(1)求A种,B种树木每棵各多少元?
(2)因布局需要,购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定:在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点,其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.
(1)求的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△和等腰直角△,连接,试确定△面积最大时点的坐标.
(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连接CF并延长交AB于点M,MN⊥CM交射线AD于点N.
(1)如图1,当点F为BE中点时,求证:AM=CE;
(2)如图2,若=3时,求的值;
(3)若=n(n≥3)时,请直接写出的值.(用含n的代数式表示)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在菱形中,,点是对角线上一动点,将线段绕点顺时针旋转到,连接,连接并延长,分别交、于点、.
(1)如图1,若且,求菱形的面积;
(2)如图2,求证:.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1,其中正确的是()
A.①④⑤B.①③④⑤C.①③⑤D.①②③
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com